一位老师发现班上学生的身高呈正态分布均值为170厘米标准差为50厘米。i随机抽取100名学生。估计身高在164厘米到182厘米之间的学生人数。i身高小于150厘米的比例等于身高大于y厘米的比例。求y的值。ii另一位老师发现她班上学生的身高呈正态分布均值u cm标准差10 cm。这个班有25的学生身高超过175厘米。求p的值。

(i) 根据正态分布的性质，身高在164厘米到182厘米之间的学生人数可以用标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数来估计，即：

$$ P(164\leq X \leq 182) \approx \Phi\left(\frac{182-170}{50}\right)-\Phi\left(\frac{164-170}{50}\right) \approx 0.624 $$

其中，$\Phi$表示标准正态分布的累积分布函数。因此，估计身高在164厘米到182厘米之间的学生人数约为100 × 0.624 = 62.4人。

(ii) 根据题意，身高小于150厘米的比例等于身高大于y厘米的比例，即：

$$ P(X<150)=1-P(X>y) $$

将身高转化为标准正态分布的形式，有：

$$ 1-\Phi\left(\frac{y-170}{50}\right)=\Phi\left(\frac{150-170}{50}\right) $$

化简得：

$$ \Phi\left(\frac{y-170}{50}\right)+\Phi\left(\frac{20}{50}\right)=1 $$

查表可知，$\Phi(0.84) \approx 0.7995$，因此：

$$ \frac{y-170}{50}+0.84=0 $$

解得 $y\approx154.8$ 厘米。

(iii) 设超过175厘米的学生身高对应的标准正态分布的分位数为 $z$，则：

$$ P(X>175)=1-P(X\leq175)=1-\Phi\left(\frac{175-u}{10}\right)=0.25 $$

解得 $\frac{175-u}{10}\approx0.674$，因此 $u\approx168.26$ 厘米。